• Notions ensemblistes de base, relation d'équivalence, quotient ;
  • Notions sur les entiers (pgcd, ppcm, entiers modulo) ;
  • Eléments de la théorie des groupes ; applications aux groupes de permutations ;
  • Eléments de la théorie des anneaux ; applications aux anneaux de polynômes (uniquement pour les étudiants en mathématiques).

Réflexes de bases du chercheur en sciences mathématiques, au niveau de l'utilisation de la documentation, recherches en lignes, bibliographie, comportement éthique.

  • Rappel des bases vues lors du cours de BA2 (Introduction à la logique mathématique).
  • Théorème de complétude, théorème de compacité...
  • Eléments de la théorie des modèles, en particulier ultraproduits et leur utilisation en mathématique (introduction à l'analyse non standard).
  • Eléments de la théorie de la calculabilité (théorie des fonctions récursives, décidabilité, 10ème problème d'Hilbert, théorème de Matiasevich).
  • Eléments de la théorie des ensembles, ordinaux et cardinaux.

Nombres complexes, polynômes.

  • Vecteurs, matrices, déterminants, système d'équations linéaires.
  • Logique élémentaire (tables de vérité, quantificateurs, notions de preuve par l'absurde, par contraposition, par récurrence).
  • Fonctions élémentaires, fonctions à valeurs vectorielles, leurs représentations (graphes), notions de dérivée, d'approximation au 1er ordre.

Notions de bases en didactique des mathématiques en relation avec les disciplines connexes, notamment la physique. Mise en pratique lors de présentations orales.

Premiers concepts de logique mathématique : connecteurs; quantificateurs; formules; langages; modèles; cardinalité.

Stages d'enseignement dans une situation interne à l'université; participation à des séminaires de didactique dans des institutions scolaires de la communauté française de Belgique.

Ce cours d'introduction à la théorie des modèles introduira les notions suivantes :

  • Langages, L-structures;
  • Constructions: produits, ultraproduits, chaînes;
  • Notion de satisfaction, sous-structures, équivalence élémentaire;
  • Morphismes et groupe d'automorphismes;
  • Ensembles définissables et infiniment définissables;
  • Théorème de Los sur les ultraproduits;
  • Théorème de compacité;
  • Notion de preuve et théorème de complétude.